Türev Alma

TÜREV ALMA

 

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.

Ve f'(x0), Df(x0) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

 

Sonuç

 1. f'(a+) = f'(a) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.

 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.

 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.

 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

 

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

 

 

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn nin Türevi

     

 

2. c Sabit Sayısının Türevi

     

 

3. c × f(x) in Türevi

     

 

4. Toplamın Türevi

     

 

5. Farkın Türevi

     

 

6. Çarpımın Türevi

     

 

7. Bölümün Türevi

      

 

Sonuç

 

 

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

 

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.

Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

 

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

      

 

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

     

 

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

     

 

Uyarı

f'(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.

f'(2) ¹ [f(2)]’ dir.

Çünkü f'(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f'(x)  in x = 2 için değeridir.

[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

 

Kural

 

 

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

 

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

 

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

     

 

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

 

Kural

 

 

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

     

 

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

 

 

TÜREVİN ANLAMI

 

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

     

fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:

     

 

ve t anındaki ivmesi

     

 

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

 

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

     

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

      m = tana dır.

 

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi

A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f'(x0) = m = tana dır.

 

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,

     

 

olur.

 

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:

     

 

Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

 

 

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

 

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

 

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

 

 

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

 

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

     

olacak şekilde bir

p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

 

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

 

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

 

 

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

 

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

 

Yerel minimum değer, f(x0) dır.

 

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

 

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.

Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

 

 

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

 

Kural

      

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

 

 

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

[a, b] aralığında f”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

 

 

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

 

 

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

 

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.

x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.

x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

 

Uyarı

     

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.

 1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f'(x) < 0 dır.

 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f'(x) > 0 dır.

 3. a < x < c için f”(x) > 0 dır.

 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f'(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.

 5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f”(c) = 0 dır.